一、傅里叶变换

　　傅里叶变换是数字信号处理领城种很重要的算法。傅里叶表明：任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。而根据该原理的傅里叶变换算法利用直接测量到的原始信号，以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅和相位。和傅里叶变换算法对应的是反傅里叶变换算法。该反变换从本质上说也是一种累加处理，这样就可以将单独改变的正弦波信号转换成一个信号。

　　因此，可以说，傅里叶变换将原来难以处理的时域信号转换成了易于分析的频域信号（信号的频谱），可以利用一些工具对这些频域信号进行处理、加工。最后还可以利用傅里叶反变换将这些频域信号转换成时城信号。现代数学发现傅里叶变换具有非常好的性质：

　　1.傅里叶变换是线性算子，若赋予适当的范数，它还是酉算子；

　　2.傅里叶变换的逆变换容易求出，而且形式与正变换非常类似；

　　3.正弦基函数是微分运算的本征函数，从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解。在线性时不变的物理系统内，频率是个不变的性质，从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取；

　　4.著名的卷积定理指出：傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算，从而提供了计算卷积的一种简单手段；

　　5.离散形式的傅里叶变换可以利用数字计算机快速的算出（其算法称为快速傅里叶变换算法（FFT））。

　　正是由于上述的良好性质，傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。

　　二、傅里叶变换的意义

　　众所周知，我们一直将傅里叶级数、博里叶变换、FFT看作是向频谱空间的变换，这从其三角级数的形式本身可以看出，当然对于复数形式，我们也可以借助量子力学解释，其展开函数正是动量的本征函数，因此傅里叶变换正是向动量空间的变换，而我们知道动量空间实际上与频率空间是一致的。事实上，正是由于傅里叶级数傅里叶变换、FFT所具有的这个物理意义才使得其在频谱分析中得到广泛应用。

　　而另一方面，我们从傅里叶级数、傅里叶变换、FFT、广义傅里叶级数的实际应用例子中可以明显地看到它们在解决实际问题时的思路无外乎以下两点：

　　（1）将复杂的问题分解为若干简单的问题求解；

　　（2）将纠缠的问题通过变换分离开来；

　　（3）如果我们抛开傅里叶级数法、傅里叶变换本身，面仪从这两点出发，我们便可以看到傅里叶级数法，博里叶变换的更深层次的意义。它为我们提供了一种解决问题的思路，如果我们可以用不同的变换方法将复杂的问题分解化，将纠细的问题分离化，我们就可以用这种变换来处理问题。

　　三、傅里叶变换的应用

　　1.模板运算与卷积定理

　　在时域内做模板运算，实际上就是对图像进行卷积。模板运算是图像处理一个很重要的处理过程，很多图像处理过程，比如增强/去噪（这两个分不清楚），边缘检测中普遍用到。根据卷积定理，时域卷积等价与频域乘积。因此，在时域内对图像做模板运算就等效于在频域内对图像做滤波处理。

　　比如说一个均值模板，其频域响应为一个低通滤波器；在时域内对图像作均值滤波就等效于在频域内对图像用均值模板的频域响应对图像的频域响应作一个低通滤波。