通信系统都有发送机和接收机,为了提高系统的可靠性,通常在接收机的输入端接有一个带通滤波器,信道内的噪声构成了一个随机过程,经过该带通滤波器之后,则变成了窄带随机过程,因此,讨论窄带随机过程的规律是重要的。
一、窄带随机过程的定义
窄带随机过程的定义借助于它的功率谱密度的图形来说明。图3.5.1(a)中,波形的中心频率为,带宽为
,当满足
时,就可认为满足窄带条件。
若随机过程的功率谱满足该条件则称为窄带随机过程。
若带通滤波器的传输函数满足该条件则称为窄带滤波器。
随机过程通过窄带滤波器之后变成窄带随机过程。 图3.5.1窄带波形的频谱及示意波形
二、窄带随机过程的表示方式
如果在示波器上观察这个过程中一个样本函数的波形,则会发现它像一个包络和相位缓慢变化的正弦波,如图3.5.1(b)所示。因此窄带随机过程可用下式表示成: 式中,
是窄带随机过程包络;
是窄带随机过程的随机相位。
窄带随机过程也可用下式表示 其中:
这里的
和
分别被称作
的同相分量和正交分量。
可见,的统计特性可以由
、
或
、
的统计特性来确定。反之,若已知
的统计特性,怎样来求
、
或
、
的特性呢?
三、同相分量与正交分量的统计特性
设窄带随机过程是均值为零平稳的窄带高斯过程。可以证明,它的同相分量和正交分量也是均值为零的平稳高斯过程,而且与具有相同的方差。
1.数学期望 已设
是平稳的,且均值为零,即对于任意时刻,有
,所以,可得
即
2.自相关函数
我们知道一些统计特性可以从自相关函数中得到,所以,按定义的自相关函数为
将上式展开,并取数学期望为
其中
因为
是平稳的,可以令
,得
(1) 同理,令
,得
(2) 如果
是平稳的,则
、
也是平稳的。
由于式(1)和式(2)相等,则应有 可见,
的同相分量和正交分量具有相同的自相关函数,而且根据互相关函数的性质,有
可见,有
上式表示,
为
的奇函数,所以
同理可以证明
得到
即
这表明
,
和
具有相同的方差。
3.概率密度函数 因为
和
统计独立,则
和
的二维概率密度函数为
利用式(3.5.16),上式改写为
以上讨论的是由
的统计特性推导出同相分量
和正交分量
的统计特性。
四、包络与相位的统计特性
现在来确定窄带平稳高斯过程的包络和相位的统计特性,随机包络和随机相位可表示为 利用概率论中随机变量变换的关系来求解
和
的概率密度函数,把
,
,
和
在某一时刻的随机变量用
,
,
和
来表示。根据随机变量变换关系有
其中,
为
,
的联合概率密度函数;
为雅可比行列式,它等于
由
和
得
进行偏微分,并代入雅可比行列式,得
于是
因为
,所以上式中包络
,而
在
内取值。
利用概率论中的边际分布知识,可求得包络的概率密度函数为
可见,
服从瑞利分布。
瑞利分布的特点:最大值发生在处,其值为
。
图3.5.2 窄带高斯过程包络的概率密度函数 利用边际分布知识,可求得相位
的概率密度函数为
可见,随机相位在
内服从均匀分布。
所以窄带平稳高斯过程的包络和相位是统计独立的。
五、窄带随机过程的功率谱密度
结论:窄带随机过程同相分量和正交分量
具有相同的功率谱密度,而且与窄带随机过程
的功率谱密度
具有如下关系式
式中,设
的频率范围
,
证明:窄带随机过程的同相分量
和正交分量
的提取方法如图3.5.4所示。
图3.5.4 同相分量
和正交分量
的提取方法 1.同相分量
对式两边乘以
,得
两边都通过截止频率为
的低通滤波器,于是输出为
,表示为
其功率谱密度为
1.同相分量
同理,对式两边乘以
,得
用功率谱密度表示为
由以上关系式,可画出功率谱密度
、
和
如图3.5.3所示。
图3.5.3
、
和
的功率谱密度
