在加性高斯白噪声(AWGN)信道中,可以使用匹配滤波器实现数字信号的最佳接收。匹配滤波器是一种最佳线性滤波器,它是在输出信噪比最大准则下设计的一个线性滤波器,准确地说,匹配滤波器使其输出信噪比在某一特定时刻上达到最大值。
匹配滤波器具有特别重要的意义。例如在二进制数字传输中,我们关心的是能够从噪声中正确地判断两种可能信号中出现哪一种,判断时刻的信噪比愈高,愈有益于作出正确的判决。
一、匹配滤波器原理
设匹配滤波器的传输函数为

,冲激响应为

,并将匹配滤波器输入输出分别记为

和

,如图1所示。图中匹配滤波器输入为

式中,

为匹配滤波器的输入信号,噪声

是零均值高斯白噪声,其双边功率谱密度为

。

图1 匹配滤波器原理框图 根据线性系统的叠加原理,匹配滤波器的输出

为

其中,输出信号

的表达式为

式中,

是输入信号

的频谱函数。
输出噪声

的平均功率

为

则匹配滤波器在

时刻的输出信号瞬时功率与噪声平均功率之比为

为了寻找一个

以使

最大,可将许瓦兹不等式用于上式的分子,有

显见,当

为

不等式(6)为等式,此时有最大可能输出信噪比为

式中,

是信号

的能量。
由此我们得出结论:在白噪声干扰的背景下,按

设计的线性滤波器,将能在给定时刻

上获得最大的输出信噪比

。由于该线性滤波器的传输特性与输入信号频谱的复共轭相一致,故称其为匹配滤波器。
求式

的傅里叶反变换,得匹配滤波器的单位冲激响应为

可见,匹配滤波器的冲激响应便是信号

的镜像信号

在时间上平移

。
作为数字信号的接收滤波器,匹配滤波器应该是物理可实现的。对于线性系统,物理可实现的条件是:当

时,有

。
为了满足物理可实现条件要求:

即

上式表明,物理可实现的匹配滤波器,其输入信号

必须在它输出最大信噪比的出现时刻

之前消失(等于零)。也就是说,若输入

在时刻

瞬间消失,则只有

时匹配滤波器才是物理可实现的。一般地,总是希望

尽量小些,故通常选择

。
匹配滤波器的输出信号波形

上式表明,匹配滤波器的输出信号波形

是输入信号波形

的自相关函数的k倍。
例1 设匹配滤波器的输入信号是一单个脉冲,如图2(a)所示,试求匹配滤波器的特性和输出信号波形。

图2 匹配滤波器的输入输出波形及特性 解:令K=1,并取

,则匹配滤波器的冲激响应为

求

的傅里叶变换,得匹配滤波器的传输函数为

若将

看作是理想积分器的传输函数,

为延迟电路的传输函数,那么,由上式可得到一种与单个输入脉冲相匹配的匹配滤波器的实现方法,如图3所示。

图3 单个矩形脉冲的匹配滤波器 输出信号波形为

输出信号波形在

时达到最大值。

及

分别如图7.3.2(b)和(c)所示。
二、二进制确知信号的匹配滤波接收
二进制数字信号中的两个不同波形

和

。在抽样时刻对抽样值进行比较判决,哪个匹配滤波器的输出抽样值大,就判决哪个为输出。
匹配滤波器构成的接收机方框图如图4所示。图中,有两个匹配滤波器,

图4 利用匹配滤波器的最佳接收机方框图