第三章 布尔代数与逻辑函数化简
这一章主要是讲布尔代数和逻辑函数化简。在布尔代数中是把逻辑矛盾的一方假定为"0",另一方假定为"1"这样就把逻辑问题数字化了。逻辑函数的化简也就是运用布尔代数的性质来进行化简。这一章是这门课程的重点,我们一点要掌握好!
我们在学习时把这一章的内容分为:
§ 3、1 基本公式和规则
§ 3、2 逻辑函数的代数法化简
§ 3、3 卡诺图化简
§3、1布尔代数的基本公式和规则
一:布尔代数的基本公式
下面我们用表格来列出它的基本公式:
公式名称 |
公式 | |
1、0-1律 | A*0=0 | A+1=1 |
2、自等律 | A*1=A | A+0=A |
3、等幂律 | A*A=A | A+A=A |
4、互补律 | A*A=0 | A+A=1 |
5、交换律 | A*B=B*A | A+B=B+A |
6、结合律 | A*(B*C)=(A*B)*C | A+(B+C)=(A+B)+C |
7、分配律 |
A(B+C)=AB+AC |
A+BC=(A+B)(A+C) |
8、吸收律1 | (A+B)(A+B)=A | AB+AB=A |
9、吸收律2 | A(A+B)=A | A+AB=A |
10、吸收律3 | A(A+B)=AB | A+AB=A+B |
11、多余项定律 | (A+B)(A+C)(B+C) =(A+B)(A+C) |
AB+AC+BC=AB+AC |
12、否否律 |
()=A |
|
13、求反律 |
AB=A+B |
A+B=A*B |
下面我们来证明其中的两条定律:
(1)证明:吸收律1第二式AB+AB=A
左式=AB+AB=A(B+B)=A=右式 (因为B+B=1)
(2)证明:多余项定律AB+AC+BC=AB+AC
左式=AB+AC+BC=AB+AC+BC(A+A)=AB+AC+ABC+ABC
=AB(1+C)+AC(1+B)=AB+AC=右式 证毕
注意:求反律又称为摩根定律,它在逻辑代数中十分重要的。
二:布尔代数的基本规则
代入法则 它可描述为逻辑代数式中的任何变量A,都可用另一个函数Z代替,等式仍然成立。
对偶法则 它可描述为对任何一个逻辑表达式F,如果将其中的“+”换成“*”,“*”换成“+”“1”换成“0”,“0”换成“1”,仍保持原来的逻辑优先级,则可得到原函数F的对偶式G,而且F与G互为对偶式。我们可以看出基本公式是成对出现的,二都互为对偶式。
反演法则 有原函数求反函数就称为反演(利用摩根定律),
我们可以把反演法则这样描述:将原函数F中的“*”换成“+”,“+”换成“*”,“0”换成“1”,“1”换成“0”;原变量换成反变量,反变量换成原变量,长非号即两个或两个以上变量的非号不变,就得到原函数的反函数。
§3、2 逻辑函数的代数法化简
逻辑函数化简的方法有两种,分别是代数法和卡诺图法。这一节我们来学习:代数法化简。
我们先来了解一个概念,什麽是逻辑电路图?逻辑电路图就是用逻辑门组成的电路图。
一:逻辑函数化简的基本原则
逻辑函数化简,没有严格的原则,它一般是依以下几个方面进行 :
逻辑电路所用的门最少;
各个门的输入端要少;
逻辑电路所用的级数要少;
逻辑电路要能可靠的工作。
这几条常常是互相矛盾的,化简要根据实际情况来进行。下面我们来用例题说明一下:
例1:化简函数F=AB+CD+AB+CD,并用基本逻辑门实现。
(1)先化简逻辑函数 F=AB+CD+AB+CD=A(B+B)+D(C+C)=A+D
(2)用逻辑门实现:(由化简来看只需一个与门)
二:逻辑函数的形式和逻辑变换
逻辑函数的形式很多,一个逻辑问题可以用多种形式的逻辑函数来描述。
逻辑函数的表达式可分为五种:
1."与或"表达式2."或与"表达式3."与非"表达式4."或非"表达式5."与或非"表达式。这几种表达式之间可以互相转换,应根据要求把逻辑函数化简成我们所需要的形式。