电势公式的推导与电势能的公式

分析几种电荷分布产生的的电势公式：

1、均匀分布的球面电荷（球面半径为r。带电量为q）

电势分布公式为：

2、均匀分布的球体电荷（球体的半径为r，带电量为q）

电势分布公式为：

3、均匀分布的无限大平面电荷（电荷面密度为sigma）

电势分布公式为：

其中假设r0处为零电势参考点。若选取原点为零电势参考点。即u0=0，那么其余处的电势公式为：

4、均匀分布的无限长圆柱柱面电荷

电势分布公式为：

电势公式的推导：

电荷周围产生的静电场的电势差与电势的公式与推导：

一场源点荷为q，在距q为r的a点有一点电荷为q，求证：此a处电势φ=kq/r。

证明：设无穷远处电势为0，则在电场力的作用下，q从r处运动到无穷远，电场力做功为qu。　　

将a到无穷远这段距离无限等分最远处距离为r0，a 处为rn,(0，1，2，……n为下标)。

①式子：kqq*(r(n-1)-rn)/rn^2+kqq*(r(n-2)-r(n-1))/r(n-1)^2+……+kqq*(r2-r3)/r3^2+kqq*(r1-r2)/r2^2+kqq*(r0-r1)/r1^2=qu。

②式子：kqq*(r(n-1)-rn)/(rn*r(n-1))+kqq*(r(n-2)-r(n-1))/(r(n-1)*r(n-2))+……+kqq*(r2-r3)/(r3*r2)+kqq(r1-r2)/(r2*r1)+kqq*(r0-r1)/(r1*r0)=qu。

因此，kq/rn-kq/r(n-1)+kq/r(n-1)-kq/r(n-2)+……+kq/r3-kq/r2+kq/r2-kq/r1+kq/r1-kq/r0=u ，kq/rn-kq/r0=u，kq/rn-0=φ-0 φ=kq/rn,即φ=kq/r。

图1：电势公式的推导

电势能的公式：ep=wao=q·φa.(ep表示电势能）：当φa>0时，q>0,则εp>0,q<0,则εp<0；当φa<0时，q>0,则εp<0,q<0,则εp>0。